הסתברות ח- ממ בדיד שאלה 6

שלום אביטל, שאלה מצוינת.

התוחלת של X|Y שווה ל- Y לפי נתוני השאלה. שימי-לב, בואי נרשום את זה בצורה מפורשת:  E[X|Y]=Y, כלומר התוחלת שווה למ"מ Y, ולא לקבוע Y=y.

אבל אפשר לשאול:

הרי כאשר מחשבים תוחלת אמורים להגיע למספר בסוף, כלומר לתוצאה מספרית, לא למשתנה מקרי. וזה נכון, אבל כאן בעצם אנחנו שואלים שאלה אחרת, אנחנו שואלים:

מהי התוחלת של המ"מ X|Y?

והתשובה: זוהי פונקציה של המ"מ Y. לכן אנחנו מצפים לקבל שתוצאת התוחלת תהיה תלויה במ"מ Y!

ולכן כאשר מחשבים את E[X|Y] ומקבלים תוצאה שתלויה ב- Y, זה לא מפתיע אותנו. 

כעת קיבלנו כי E[X|Y]=Y ולכן לפי החלקה מקבלים:  EX=E[E[X|Y]]=EY=1/p.

מקווה שמובן,

בע"ה תצליחי,

חן

הי אביטל,

שאלה טובה, התשובה היא שבכל מקרה נצפה שהתוחלת של ההתניה תיהיה פונקציה של Y בלי קשר לסוג ההתפלגות.

במקרה הזה באמת התוחלת של מ"מ פואסוני עם פרמטר למדא היא פשוט למדא, כלומר Y במקרה שלנו, אבל למשל אם הייתי מחליף את זה למ"מ מעריכי עם פרמטר למדא (כלומר פרמטר Y=y במקרה של המ"מ המותנה), אז התוחלת שלו היא 1 חלקי למדא, ואז היינו מקבלים 1 חלקי Y.

כלומר מכיוון שזאת תוחלת של מ"מ מותנה ב- Y אנחנו מצפים לתוצאה שתלויה ב- Y.

מקווה שמובן,

אם לא תמשיכי לשאול עד שיהיה מובן, אני פה.