אהלן גל,
בשאלה 10 דקה 7:00 בערך, אתה מחשב את סכום הטור לפי הנוסחה לטור גיאומטרי בהסתמך על כך שרדיוס ההתכנסות הוא 1 ולכן x בערך מוחלט קטן מ1 וניתן לעבוד עם הנוסחה. בדקתי את תחום ההתכנסות (בעזרת לייבניץ) ויצא שהקצוות נכללים בתחום ואם כך אז x לא בהכרח קטן מ1. ולכן לא בהכרח אפשר להשתמש בנוסחה לטור גיאומטרי.
אשמח לחידוד אם אני מפספס כאן משהו.
תודה רבה על הכל:)
יותם פוקס
, הטכניון
01.07.2025
תגובות
גל גרנות
, הטכניון
08.07.2025
היי יותם, יש כאן דקות קטנה שיפה שעלית עליה - אני אסביר :)
כמו שאמרת הנוסחא לטור הנדסי אינה תקפה בקצוות עבור x=+-1. עם זאת כמו שאמרת הטור כן מתכנס בקצוות - הוא שקול לטור של 1/n^2 בנקודות האלו ולכן יש לו ערך סופי. בפועל בשאלה אם היינו ממש מדייקים היינו מגדירים את הפונקציה להיות הביטוי שחישבנו בתחום |x|<1 לפי הפיתוח שעשינו וכסכום הטור המתאים בשני הקצוות.
לסיכום החלק החשוב למבחן הוא באמת להשתמש בנוסחא לטור גאומטרי רק כאשר הארגומנט הנסכם קטן בערך מוחלט מ-1 - במקרה זה יכולנו גם להרחיב את ההגדרה לקצוות.
מקווה שזה עונה על השאלה, במידה ולא אנא עדכן ואענה שנית :)