חדוא 1מ2 שאלה ממבחן

הי תומר, 

באופן כללי אני פחות נוטה לענות על שאלות ממבחנים, אלא יותר על שאלות על הקורסים שבאתר. אבל בכל זאת שאלת וזאת גם שאלה מאוד נחמדה, אז ניתן תשובה.

צירפתי תמונת שירבוט פתרון, לא הכי מסודר :) אז אנסה ללוות את הפתרון גם במילים:

אז כשלב ראשון יש להגדיר פונקציית עזר ע"י העברת הכל לאגף אחד.

לאחר מכן אפשר לגזור (אני לא מנמק כאן כלום כי זאת שאלה אמריקאית). אפשר לראות די מהר שהנגזרת לא מתאפסת, זאת-אומרת שלנגזרת הראשונה אין שורשים ולכן לפי מסקנות משפט רול (יש מרצים שאוסרים להשתמש במסקנות אבל שוב, זאת שאלה אמריקאית אז אני מרשה לעצמי להתפרע עם המסקנות) יש לפונקציה לכל היותר שורש אחד.

אז עכשיו צריך להשתמש במשפט עה"ב כדי להראות שיש לפונקציה לפחות שורש אחד, אז נציב למשל X=1 ואז האינטגרל יתאפס (כי אינטגרל מ- a עד a סוכם "שטח אפס") ונקבל 1-, כלומר מספר שלילי. איך מקבלים מספר חיובי? טוב אז אפשר לפתור את האינטגרל (not recommended) אבל אפשר גם לא כי זאת שאלה אמריקאית ואפשר להשתמש בהגיון פשוט:

הרי הפונקציה באינטגרנד היא חיובית, לכן ככל שניקח ערך X גדול יותר כך גם נסכום שטח גדול יותר מתחת לפונקציה, ולעומת זאת 1 חלקי X רק ילך ויקטן, לכן אפשר להניח שעבור X מספיק גדול הפונקציה תיתן ערך חיובי (אפשר לחלופין להשתמש באינטגרל מוכלל, עבור X ששואף לאינסוף האינטגרל מתכנס (למספר חיובי) ו- 1 חלקי X שואף ל- 0).

ובכך קיבלנו ערך חיובי וערך שלילי, הפונקציה רציפה בתחום הנתון ולכן לפי משפט ערך הביניים יש לפונקציה לפחות שורש אחד.

ומכיוון שראינו לפי רול כי לפונקציה יש לכל היותר שורש אחד, אזי בסה"כ יש לה בדיוק אחד, לכל X>0.

 כמובן שלו השאלה היתה לא אמריקאית אזי הייתי מתנסח בצורה אחרת לחלוטין ובאופן פורמלי לחלוטין (כפי שהראיתי בקורס באתר), אבל כאן בשאלות אמריקאיות צריך לדעת איך לפתור בטכניקות זריזות שלא יגמרו לנו את כל זמן המבחן (יש לי בפק"ל את החלק האמריקאי שם אני מדגים את הטכניקות האלו).

מקווה שמובן,

שפע ברכה והצלחה מאת ה',

חן