משפט הפונקציות הסתומות ושימוש יעקוביאן

אהלן עומר, שאלה טובה.

נחלק את התשובה לשניים, פונקציה סתומה ומערכת של פונקציות סתומות (ותכף נראה שהעקרון הוא אותו עקרון בדיוק).

1) בפונקציה סתומה F, אנחנו דורשים שהנגזרת החלקית של F לפי אותו משתנה שאותו אנחנו רוצים לבודד, תהיה שונה מאפס. הסיבה היא פשוט כי בנוסחה של משפט הפונקציות הסתומות (שנותנת לנו את הנגזרות החלקיות של אותו משתנה שאותו אנחנו רוצים לבודד) אותה נגזרת חלקית נמצאת במכנה, ואנחנו לא רוצים לחלק באפס.

2) במערכת של פונקציות סתומות אנחנו דורשים שהדטרמיננטה של מטריצת היעקביאן של המשתנים שאותם אנחנו רוצים לבודד, תהיה שונה מאפס. גם כאן הסיבה היא הרבה יותר טכנית ממה שניתן לחשוב ולמעשה היא ממש אותה סיבה כמו בפונקציה סתומה בודדת - אנחנו פשוט לא רוצים לחלק באפס. הרי בנוסחה של משפט הפונקציות הסתומות למערכות משתנים, יש לנו את מינוס היעקביאן בחזקת 1-. המשמעות של החזקה 1- היא בעצם הפיכת המטריצה. וכאשר הופכים מטריצה, מקבלים את הדטרמיננטה שלה במכנה! ולכן אנחנו דורשים שאותה דטרמיננטה תהיה שונה מאפס.

לכן לשאלתך במערכת של פונקציות סתומות לא משנה לנו אם חלק מהנגזרות החלקיות התאפסו או לא, אלא רק האם הדטרמיננטה כולה של היעקביאן התאפסה או לא.

מקווה שעזר :)

שפע ברכה, הצלחה וציונים גבוהים מאת ה'

חן.