לופיטל נשנה - חדווא ד לכלכלנים

שלום ליאור,

שאלה יפה ונבונה.

האינטואיציה שלך טובה, ואף מובילה לתוצאה נכונה, אבל בכל זאת יש להיזהר כי יש פה מלכוד מסוים.

דבר ראשון זה נכון שהמונה לא משתנה תחת גזירה (e) אבל למעשה - הוא לא באמת במונה. יש לשים-לב כי יש שם e^(-1/x^2), שזה שקול ל- e^(+1/x^2) במכנה.

נקודה נוספת למחשבה, אם ניקח למשל e^x במונה ו- x^1,000,000 במכנה, נגלה לאחר מיליון לופיטלים שהמונה ניצח במרוץ לאינסוף, מכיוון שאקספוננט תמיד שואף מהר יותר (החל ממקום מסוים) לאינסוף מכל פולינום, וזה האחרון תמיד שואף מהר לאינסוף מכל לוגריתם. לכן במבט ראשון הדברים יכולים לבלבל.

ובסופו של דבר, גם אם האינטואיציה נכונה (והיא אכן נכונה, כי המכנה כאן כל הזמן גדל כפי שציינת יפה והמונה נשאר פחות או יותר אותו דבר עד כדי קבוע כיפלי), לא ניתן לנמק זאת מתמטית בצורה הזאת. אם השאלה אמריקאית כמובן שהאינטואיציה הזאת תספיק לנו, אבל אם היא פתוחה אז חייבים לפתור בדרך מתמטית כפי שהצגתי בסרטון.

יופי של שאלה,

שבוע טוב ומבורך,

חן