שלום, איל אני יכולה לפתור שאלה כזאת: האם קיים עף לפונקציה log(z^2+1) בתחומים Z|<1 , |Z|>1| , |z-i|<1|
באיזה שיטה אני יכולה להשתמש , אי אפשר להשתמש במביוס ולא קל לדעת מה הפונקציה תגרום לתחומים כדוגמאות הראשונות
שלום מונא! תהיי מוכנה כי אני מאמין שזאת הולכת להיות שובה ארוכה
. אענה על השאלה שלך בכמה שלבים, עם תמונות אולי וגם אצרף לך דוגמה נוספת ממש דומה שהופיע באחד הגליונות. לפני שנתחיל-השאלה ששאלת כרגע ראית אותה איפשהו או שאת שואלת בעצמך?. לפני כל מה שאני הולך להגיד תרשי לי להרגיע ולהגיד לך שמה שתראי בפועל במבחן זה בדיוק מה שראית בפקל- 7 נקודות קלאסי ענפים מוזרים וקיום ענפים פתוחה 20 נקודות עם מביוס. למרות הכל-עדיין בפקל אני מביא שני טריקים נוספים חשובים שנחשבים ליותר אקזוטיים אבל תמיד חשוב וטוב לדעת אותם(איך ישר אומרים שאין ענף וגם הטריק עם RE חיובי או שלילי). אחד מהם הוא מתי אנחנו ישר יכולים להגיד שלא קיים ענף. כי מהגדרת הלוגריתם המרוכב לכל לייזר ענף שנבחר, תמיד יש לנו בהגדרה LN של משהו, אז אם מה שבתוך הלוגריתם קיימת נקודה בתחום שמאפס אותו, ישר אפשר להגיד שלא קיים ענף בתחום כי הלוגריתם בכלל לא מוגדר היטב לכל נקודה בתחום הנתון אז בפרט לא יהיה ענף אנליטי אפילו. למשל: עבור הדוגמה שהמצאת LOG(Z^2+1), אם היו שואלים אותנו האם קיים ענף בתחום |z-i|<1 , אז תשימי לב שלמשל התחום הזה זה עיגול עם רדיוס 1 ומרכז i , כלומר מכיל את הנקודה z=i. אבל אז
0=z^2+1=i^2+1
כלומר מה שבתוך הלוגריתם מתאפס אזי מהגדרת הלוגריתם המרוכב שמכילה LN ישר אפשר להגיד שאין ענף בתחום הזה לכל ענף שנבחר.
ננסה למשל לבדוק מה קורה בתחום |Z| <1, כלומר עיגול היחידה. כאן אם סתם מנסים להציב דברים לא רואים שמקבלים אפס, זה לא הוכחה פורמלית לזה שקיים ענף אבל זה מביא לנו את האמונה בלב שאכן קיים ענף כי את מציבה נקודות בתחום ושום דבר לא מאפס רק פלוס מינוס איי מאפס. כמו שאמרת בעצמך, זה לא מביוס. אז נלך בכל הכוח על הטריק הנוסף שראינו בפקל-להסתכל על החלק הממשי!!! RE
אם לא יכולה אז אני רושם בעצמי :
:z|<1|
GENERAL POINT IN THE DOMAIN
z=r*exp(i*theta)
,r>=0
r<1
= z^2+1=r^2*exp(2*i*theta)+1
i*r^2*sin(2*theta)+r^2*cos(2*theta)+1
RE(z^2+1)=1+r^2cos(2*theta)>=1-r^2>0
לכן אפשר לבחור למשל את הענף הראשי פה, כי לייזר שלו לא נמצא בחצי מישור ימני כי חצי מישור ימני זה אומר חלק ממשי חיובי, זה דומה למה שראינו בפקל באותו הטריק
לסיום : בבקשה תראי גם את מה שאני מדבר עם סטודנטית אחרת בפורום בתאריך 27.5 אסמא זועבי "ענפים מוזרים" יש שם מלא דברים מעניינים אבל תקראי בבקשה רק החל מהרגע שהסטודנטית העלתה תמונה מפתרון שהיא עשתה ומה שאני עונה לה , ההודעות הראשונות שם פחות רלוונטיות. אני מפנה אותך גם לשם כי סעיף ג הוא מעניין וגם עם הטריק של RE. בכל מקרה מה שתראי במבחן זה מה שראית בפקל
,פשוט ליתר בטחון גם אני דאגתי בפקל לכסות את הטריק האקזוטי של RE . אז בבקשה לקרוא כל מה ששלחתי לך היום וגם את ההודעות האחרונות ששלחתי לאסמא זועבי לאחר שהיא העלתה תמונה של משהו שהאי רשמה ומה שעניתי לה, לגבי סעיף ג שם.