פונקציות מרוכבות א העתקות מביוס

שלום רב אלוף,

אני מצרף לך בהודעה זאת תמונה עם הפתרון וכמובן הסבר בתגובה עצמה כמו שאני עושה בפקל. לאורך כל הכתיבה שלי תסתכל תוך כדי על התמונה שציירתי לך. קח קפה ותהיה מוכן, לקרואר עד הסוף ולעקוב אחרי הצבעים בתמונה, ייצא ארוך כי כאשר אני מסביר משהו אני כותב כאילו אני בשיחה כי בפורום אין לי אופציה לשלוח הקלטה,קריאה מהנה ואני בטוח שתהנה. בתרגיל שלנו יש לנו שני עקומים שהם גאמה 1 וגאמה 2 כמו שמופיעים בתמונה, אנחנו יודעים שהעתקת מביוס אוהבת להעתיק ישרים וקשתות מעגליות והיא מעתיקה אותם גם כן לתמונה מתקבלת של קווים ישרים או קשתות מעגליות כמו שאני אומר בסרטונים. לכן אנחנו מאוד רוצים לחשוב על הבעיה שלנו כמו שתי בעיות נפרדות, בוא נפתור בעיה של גאמה 1 אחרי זה בעיה של גאמה 2 ואז נאחד את הפתרון כי מביוס אוהב קווים ומעגלים אבל לא שיש צורה של שניהם ביחד. לפי האמונה והטריקים בגישה של הפקל, אנחנו תמיד אוהבים כשמעתיקים משהו עם מביוס, אם אתה רואה שיש לך נקודה שהצבתה נותנת לך אינסוף אז אנחנו מאוד נרצה דווקא להציב את הנקודה הזאת בתור הנקודה האחרונה שנציב. שים לב בציור איך אנחנו אוהבים לחשוב על סדר נכון של הצבת הנקודות: תסתכל את הסדר שאני מציב את הנקודות של גאמה 1, תחשוב על ארנב שקופץ בכוון אחד ואז בעקום המתקבל אתה רוצה שהארנב הזה ימשיך לקפוץ בכוון אחד. למה זה נוח שהנקודה האחרונה שמציבים היא זו ששולחת אותנו לאינסןף? כי במרוכבות אינסוף מבחינתך למבחן זה פשוט "נקודה רחוקה מאוד" אין משמעות למינוס אינסוף או פלוס אינסוף או איי כפול אינסוף אינסוף זה פשוט "נקודה רחוקה מאוד" זה קשור לספרה של רימן שלא רלוונטית למבחן, אבל מה שבאמת חשוב זה שאינסווף זה " נקודה רחוקה מאוד" אבל אם אתה לא יודע איך הארנב קופץ בשתי הנקודות הנורמליות הראשונות , מאוד קשה בלי זה לדעת לאיפה הוא קופץ "רחוק מאוד". אחרי שאני רואה בנקודות A,B איך הוא קופץ לאיזה כוון כדי לשמור על כוון יחיד בקפיצה של הארנב אתה בהכרח תסיק שאינסוף זה ימינה. בגלל שהעתקנו ישר סופי אנחנו יודעים שאסור לו לעבור לישר אינסופי אבל כן מותר לו לעבור לישר חצי אינסופי כמו שאני אומר בפקל. לסיכום: מה שמבחינתך חשוב בהצבת הנקודות זה שאם אתה רואה שנקודה תביא לך אינסוף תציב אותה בתור נקודה שלישית ולא ראשונה  ותחשוב על ארנב שקופץ בכוון יחיד כמו שאני עושה בסרטון,הארנב הזה לא יכול פתאום לקפוץ ימינה ואז אחרי זה להתחרט ולקפוץ שמאלה הוא צריך להיות ארנב החלטי עם בטחון. הארנב לא יכול לקפוץ לכוון אחד ופתאום לשנות כוון, הארנב הזה קופץ רק לכוון אחד. הכי נוח להשאיר את הצבת אינסוף בתור נקודה אחרונה כמו שאני עושה בסרטונים. בדיוק באותו אופן אני מסתכל על מסלול גאמה 2 עכשיו ומציב נקודות A,D,C שים לב איך בכוונה אני משאיר את C בתור נקודה אחרונה שאני מציב בו כדי שיהיה יותר קל. נקודה A שולחת אותי ל-0, נקודה D  שולחת אותי למינוס i ואז נקודה C שולחת אותי ל"אינסוף". מה זה אינסוף מבחינתך למבחן? אינסוף זה פשוט נקודה רחוקה מאוד אבל הארנב שלנו צריך להמשיך לקפוץ בכוון זהה וזה מביוס אז אתה לא יכול שזה יהיה הפעם אותו "אינסוף" שגאמה 1 שלח אותך עליו כי מביוס מעביר לי חצי מעגל בהכרח למשהו שהוא קשת של מעגל או ישר סופי או ישר חצי אינסופי. אז לכן הנקודה אינסוף שעוברים עליה היא C2. אתה לרגע יכול לחשוב " איך ייתכן שיש לי שתי מקומות שנקודה C שולחת אותי עליה?" העניין הוא שזה אותו מקום במרוכבות יש רק אינסוף אחד וכולם מתאחדים בספרה של רימן, לא חשוב למבחן. כל הפואנטה זה לחשוב על שתי הבעיות האלה בתור בעיות לא קשוורת של גאמה 1 וגאמה 2, ושים לב מה אני עושה בשתיהן: בשתיהן אני בכוונה משאיר את הצבת C שנותנת לי אינסוף בתור הצבה אחרונה ובשתיהן אני מסתמך על הטריקים של מביוס מהפקל ואני תמיד חושב בראש על ארנב מקפץ שלא יכול פתאום לשנות את הFLOW שלו. עכשיו, בפקל שאני רושם את הפתרון הפורמלי אני אומר שהעתקת מביוס קונפורמית ולכן אפשר להציב נקודה פנימית כדי לגלות באיזה רביע אנחנו נגיד מציבים חצי איי וזה שולח אותנו לנקודה כלשהי ברביע הרביעי ולכן סיימנו. 

תן סימן חיובי שהבנת מלך הענפים והלייזרים,

המשך שבוע מצויין

אלחנדרו