שלום. בשאלה 5 פרק רביעי, דקה 13:39 בכמת את שטח המלבן 1*0.5 ועוד אינטגרל כפול על פונקציות הצפיפות המשותפת, כאשר האינטגרל האחרון נותן את הנפח הכלוא מתחת לגרף פונקצית הצפיפות. לא הבנתי בדיוק איך זה מסתדר לחשב את ההסתברות הנדרש כשאר סכמנו שטח מלבני ועוד נפח ושניהם על אותה מערכת צירים.
אשמח מאוד להבהרה.
תודה
הי מוחמד,
יש כמה דרכים להבין אינטגרל כפול, אם מסתכלים על זה מבחינה גיאומטרית, אז למשל אינטגרל כפול של פונקציה f(x,y) נותן באמת כפי שרשמת את הנפח שנמצא מתחת לגרף הפונקציה ומעל מישור XY, בתחום D כלשהו. בצורה דומה, אם ניקח את f=1 נקבל את השטח של D במישור XY, שהרי כאילו קיבלנו את נפח הצורה, שטח הבסיס X הגובה, אבל במקרה הזה הגובה הוא 1, לכן בפועל קיבלנו את שטח הצורה.
לעומת זאת, יש גם משמעות נוספת לאינטגרל כפול, כתלות במשמעות של הפונקציה f. אם למשל הפונקציה f מייצגת צפיפות מסה ליחידת שטח, אזי האינטגרל הכפול על f בתחום D מסוים, ייתן לנו את מסת המשטח D. בעולם ההסתברותי, ל- f יש משמעות של צפיפות הסתברות, ולכן האינטגרל מקבל משמעות של הסתברות.
מה שמבלבל זה שאנחנו עוברים מעולם הסתברותי לעולם גיאומטרי ובחזרה להסתברותי (!), וזה בהחלט לא טרוויאלי.
מקווה שמובן,
בהצלחה,
חן