מונוטוניות

הי אורטל,

פונקציית הערך השלם היא מונוטונית עולה (חלש). הסיבה היא שזו פונקציית מדרגות, כאשר כל המגמה של הפונקציה היא עלייה, אבל כל מדרגה היא אופקית בערך y קבוע (לכן הפונקציה עולה חלש ולא ממש). כעת, גם אם נכפול אותה בקבוע ונעלה אותה בחזקה שלישית, היא עדיין תעלה חלש. מבחינה גרפית זה בסך הכל אומר שהמדרגות יהיו בקפיצות גדולות יותר אחת מהשנייה, המגמה עדיין תהיה עלייה והמדרגות עדיין תהיינה קבועות. לכן פונקציה f בשאלה ששלחת עולה חלש.

הפונקציה x^3 לעומת זאת היא מונוטונית עולה ממש לכל x>0 והיא גם מונוטונית עולה ממש לכל x<0 (ב- x=0 היא לרגע נהיית אופקית, כי יש שם נקודת פיתול). אם נחבר או נחסיר ממנה קבוע, זה בסך הכל אומר כי נעלה או נוריד אותה לאורך ציר y, אבל זה כמובן לא משפיע על המונוטוניות.

כעת הכלל הוא שכאשר מחברים פונקציה מונוטונית עולה ממש עם פונקציה מונוטונית עולה חלש, מקבלים פונקציה מונוטונית עולה ממש. בגדול ההוכחה מסתמכת על כלל מתמטי פשוט: אם אני לוקח גורם שגדול או שווה ל- 0, ומחבר לו גורם גדול ממש מ- 0, אזי התוצאה גדולה ממש מ- 0. לכן g בשאלה ששלחת עולה ממש.

אני מציע לך לשרטט את הפונקציות האלו בכל תוכנה לשרטוט גרפים (Desmos למשל מצוינת לשרטוט פשוט וקל אונליין) ואז לנסות לשחק קצת עם הפרמטרים עד שתביני.

מקווה שעוזר,

שושן פורים שמח!

חן