היי, רציתי לשאול לגבי החלק שבו אמרת שאפשר להגיע לטור מקלורן של ln(1+x^2) על ידי העלאה בריבוע של כל האיקסים בטור מקלורן של ln(1+x). זה תקף לכל הפוקנציות? לדוגמא אם אני רוצה את טור מקלורן של סינוס של איקס בריבוע אז אפשר לקחת את הטור של סינוס ולהעלות בריבוע את כל האיקסים? תודה:)
שי כהן
12.08.2022
תגובות
חן הררי
12.08.2022
אהלן שי, שבוע טוב.
שאלה מצוינת, התשובה היא כן - אבל צריך להיזהר.
כלומר, לפי משפט יחידות הטור, אם לפונקציה יש פיתוח לטור טיילור, אזי הוא נקבע ביחידות. כלומר אם הפונקציה שווה לטור חזקות כלשהו, אז זה חייב להיות הטור טיילור שלה. ולכן כן, אם אתה יודע את הפיתוח טור טיילור-מקלורן של sin(x), אזי אתה יכול להגיע בקלות גם לפיתוח של sin(x^2) ע"י הצבה של x^2 בפיתוח של sin(x), והטור החדש מתכנס לכל x^2 ששייך לתחום ההתכנסות של הטור המקורי.
אבל צריך להיזהר כאמור, קודם כל כי בדר"כ משפט יחידות הטור בכלל לא בחומר של הקורס, ולכן לא ניתן להשתמש בו כך סתם. דבר שני צריך לדייק במשפט ולשים-לב כי רק אם יש פיתוח טור לפונקציה, אז זהו הטור שלה, אבל זה לא עובד הפוך, כלומר לא לכל פונקציה יש טור טיילור מתאים. ודבר שלישי יש תנאים נוספים למשפט שיש לתת עליהם את הדעת כגון איבר שארית מתאים (לפי פיאנו או לגרנז'), גזירות לכל n וכד'.
יחד עם כל זאת אני תמיד מלמד את זה כי כמו שהמורה שלי תמיד הייתה אומרת: "תמיד טוב לדעת את התשובה, לפני שאתה יודע את הפתרון", וזה בהחלט מידע מאוד שימושי לדעת את יחידות הטור, כי גם אם אתה לא יכול להשתמש בזה באופן רשמי בטופס הבחינה, אתה בהחלט יכול לציין זאת לעצמך כטיוטה בצד ולהסיק מכך את המסקנות הדרושות לך, כפי שהסברתי בשיעור.
מקווה שמובן :)
שפע ברכה והצלחה מאת ה'!
חן.