פקל חדוא 1מ - שאלה 45

אהלן איה,

שאלה מצוינת. אז כששואלים אותי האם פונקציה היא על? אני תמיד משיב בשאלה: על מה? כלומר יש לציין את הטווח של הפונקציה ולשאול האם הפונקציה היא על הטווח שלה? 

למשל הפונקציה y=x^3 היא על R (כלומר היא יכולה להחזיר את כל ערכי ה- y ממינוס אינסוף ועד פלוס אינסוף).

אבל האם הפונקציה y=x^2 היא גם על R? תשובה: לא! כי היא לא יכולה להחזיר את ערכי ה- y השליליים. אז על מה היא כן? על +R (כלומר על y>=0, כל ערכי ה- y החיוביים). במילים אחרות התמונה של הפונקציה היא +R.

כאשר התמונה של פונקציה מוגדרת להיות כל ערכי ה- y שהיא יודעת להחזיר.

שימי-לב שהטווח של הפונקציה והתמונה שלה לא בהכרח זהים! למשל בדוגמא לעיל עם הפרבולה הטווח הוא R, אבל התמונה היא +R, כלומר התמונה מוכלת בטווח.

ובכל מקרה תמיד ניתן לומר את הדבר הבא:

כל פונקציה היא תמיד על התמונה שלה.

למשל בדוגמא שלנו, נשים-לב שהערך המינימלי שהפונקציה יודעת להחזיר הוא 1 והוא מתקבל כאשר x=0, כלומר כאשר האינטגרל מתאפס. מעבר לכך האינטגרנד תמיד חיובי ולכן האינטגרל גם הוא תמיד גדול או שווה ל- 0, זאת-אומרת  שהביטוי יכול רק לגדול מכאן והלאה, ולכן הפונקציה יכולה להחזיר כל ערך y>=1, כלומר זאת התמונה שלה.

אבל אפילו מבלי לחשב זאת, עדיין הייתי תמיד יכול לומר שהפונקציה היא על התמונה שלה, כי התמונה שלה מוגדרת להיות כל ערכי ה- y שהיא יודעת להחזיר, וזאת בדיוק המשמעות של להיות על קבוצה מסוימת, כלומר היכולת להחזיר אותם.

אז במצב הזה כל שנותר לי הוא להראות גם חד-חד-ערכיות בנוסף לעל וזה נותן לי הפיכות.

מקווה שמובן!

שפע ברכה והצלחה מאת ה',

חן.