שלום, אשמח להבהרה לגבי תרגיל מס' 27, חדוא 2 טכניון, חוברת לתירגול עצמי.
בשאלה מס' 27 סעיף א' בחישוב הגבול נ"ח בראשית לא הצלחתי להבין מדוע הגבול יוצא 0 ולא 1. האם זה קשור לערך המוחלט בתוך הסינוס?
תודה מראש.
אהלן אירה,
שאלה טובה,
הגבול הבא יוצא אכן 0:
הסיבה היא שיש כאן מכפלה של פונקציה חסומה בפונקציה ששואפת ל-0, לכן לפי משפט ("חסומה X אפסה") הגבול הוא 0.
הפונקציה החסומה היא כמובן פונקציית הסינוס, שתמיד חסומה ללא תלות בארגומנט שלה (מה שבתוך הסוגריים), והפונקציה ששואפת ל-0 היא פשוט h.
אני משער שהסיבה לשאלתך נובעת מהדמיון שיש בין הגבול הזה לגבול המפורסם, שבו התוצאה היא 1.
אבל שימי-לב שכדי שהתנאים יתאימו לגבול המפורסם, גם הסינוס וגם המכנה (1 חלקי h במקרה שלנו, אם נוריד את h למכנה) צריכים לשאוף ל- 0, וכדי שזה יקרה צריך ש- h ישאף לאינסוף!
כלומר הגבול המפורסם יתקיים באופן הבא:
והערך המוחלט לא מוסיף או משנה דבר שהרי אם h שואף לפלוס אינסוף אזי הערך המוחלט מיותר.
אבל כאמור בתרגיל שלנו לא מתקיים גבול מפורסם כיוון ש- h שואף ל- 0, אבל אז אפשר להשתמש כאמור בחסומה כפול אפסה השמיש ביותר והגבול הוא 0.
מקווה שמובן :)
שיהיה שבוע טוב, ברכה והצלחה מאת ה'!
חן.