שלום,
בחוברת סיכום קורס יש סיכום מעולה בנושא גרדיאנט על פונ' מהסוג (z=f(x,y
אך אני חושב שחסר לי ידע כדי להתמודד עם שאלות כאשר נתון לי משטח (U=f(x,y,z, וזה חוזר על עצמו די הרבה במבחנים.
אני מבין שכאשר יש 2 משתנים הגרדיאנט ניצב לקו גובה וב-3 משתנים
הגרדיאנט הוא הנורמל למשטח אך מכאן לא ברור לי באיזו גישה לנקוט.
דוגמה לשאלה: מטייל עומד בנק' M על הר שצורתו הפונ' U. הוא מחליט לרדת בדרך הכי מהירה למטה. לאיזה כיוון עליו לפנות בתחילת תנועתו.
תודה רבה!
בר
הי בר!
אכן לוקטור הגרדיאנט יש מספר משמעויות כפי שציינת ולעיתים זה יכול מעט לבלבל.
אם מטייל עומד בנקודה מסוימת על הר מהצורה של (z=f(x,y והוא רוצה לנוע בכיוון ההתקדמות התלול ביותר, עליו לנוע בכיוון הגרדיאנט. אבל שים-לב שוקטור הגרדיאנט הוא דו-מימדי וכדי להתחשב בשיפוע ההר עצמו, יש לחשב את רכיב z כדי לקבל תמונה מלאה של וקטור תלת-מימדי המורה לנו על כיוון ההתקדמות במרחב. ניתן להוכיח כי כיוון ההתקדמות במקרה זה יהיה בכיוון:
שים-לב שוקטור הגרדיאנט נמצא בשני הרכיבים הראשונים של הוקטור לעיל, כלומר הוא חי במישור הדו-מימדי ולא במרחב התלת-מימדי במקרה הזה, מכיוון שהוא נגזר מפונקציה (z=f(x,y בעלת שני משתנים. כלומר הוא מצביע על כיוון ההתקדמות התלול ביותר במישור המקביל למישור xy, כמו מחט של מצפן שמצביע תמיד צפונה, כאן "מחט הגרדיאנט" תצביע תמיד לכיוון העלייה התלול ביותר (המחט מסתובבת במישור ולא יכולה להצביע למעלה או למטה). רכיב z של הוקטור לעיל היה אילוץ שנבע מתוך ההר עצמו כיוון שהאדם נמצא בשיפוע.
אגב עוד תכונה מעניינת היא ש- "מחט הגרדיאנט" תמיד ניצבת לקווי הגובה של פונקציית ההר. בתלת-מימד נאמר שהגרדיאנט תמיד מצביע לכיוון הנורמל למישור המשיק למשטח (ראה בחוברת סיכום הקורס בפרק פונקציות סתומות).
אז בוא באמת נעלה מימד. גם בתלת-מימד המשמעות דומה, למשל אם ציפור רוצה להתרחק כמה שיותר מהר ממקור קרינה מסוים בעל פונקציה (R(x,y,z, אזי עליה לעוף בכיוון מינוס הגרדיאנט של R:
שים-לב שכצפוי וקטור הגרדיאנט הוא תלת-מימדי משום שהוא נגזר מפונקציה בעלת 3 משתנים. ההבדל כאן שהציפור אינה מוגבלת במרחב.
עכשיו מה היה קורה אם אדם העומד על הר היה רוצה להתרחק ממקור הקרינה לעיל? האדם כן מוגבל במרחב מכיוון שהוא עומד על הר בעל שיפוע וכמובן הוא אינו יכול לעוף. אז איך האדם יתקדם? במקרה זה עליו לצעוד בכיוון היטל וקטור הגרדיאנט לעיל על המישור המשיק להר, בנקודה שבה הוא עומד.
אפשר לחשב את זה, זה לא מסובך כמו שזה אולי נשמע.
זה הרעיון הכללי, אפשר עוד להרחיב אבל זה כבר שיעור שלם. כתבתי חוברת תרגילים קצרה עם פתרונות מפורטים בדיוק בנושא זה, אשלח לך אותה למייל.
שפע ברכה והצלחה מאת ה'!
חן.
תודה רבה!!