מציאת ענף אנליטי של sqrt(4-z^2) בתחום abs(z)>2

צהריים טובים אלוף, שאלה טובה והנה התשובה:

בשאלות קיום ענפים אנחנו בוחרים איזה ענף/לייזר שירצה כך שהוא לא "יגע" בעולם שאנחנו חיים בו, כלומר התחום.

בשאלה שלנו , דרך הפתרון מאוד דומה לפתרון שבסרטון.אותו טריק עם החלק הממשי ששווה להכיר. ההבדל הוא באופן הבא: ההתחלה היא בדיוק אותו רעיון ואותה מוטיבציה וקו מחשבה כמו בסרטון, ההבדל מגיע בשלב שאנחנו מוכרחים לעזר בתחום הנתון:

Re(4-z^2)=4-x^2-Y^2

עכשיו מגיע הרגע לעזר בתחום הנתון. 

abs(z)>2 if and only if [abs(z)]^2>4 if and only if x^2+y^2>4

כאשר מה שעשינו זה לעלות בריבוע שני אגפים והכל חוקי כי זה דברים חיוביים וגם להציב z=x+y*i. וערך מוחלט של מספר מרוכב כזה הוא 

sqrt(x^2+y^2). מכאן נובע שמתקיים:

0>Re(4-z^2)=4-x^2-Y^2

והנה קבלנו משהו מאוד דומה לסרטון! כלומר ה"מישהו"-מי שחי בתוך הלוגריתם הצלחנו לגלות עליו משהו:הוא בטוח חי בעולם שבו החלק הממשי שלו שלילי, ייתכן וזה תת תחום, תת עולם אבל מה שמובטח לנו הוא שיש לו חלק ממשי שלילי למישהו הזה. בניגוד לסרטון, שם הצלחנו להבטיח שיש לו חלק ממשי חיובי.ולכן בסרטון בחרנו לייזר שלא מתעסק בכלל עם חצי מישור ימני שהוא לא נוגע בו-כלומר הענף הראשי למשל. אז אני שואל אותך: מה הענף שאתה הכי אוהב מבין כל הלייזרים בעולם , שאתה יודע שהענף הזה בסדר עבור חלק ממשי שלילי? כלומר הלייזר לא נוגע בחצי מישור שמאלי? כי ממשי שלילי זה חצי מישור שמאלי.

תשובה: למשל אפשר לקחת את הענף אפס עד שתי פאי, ואם ממש בא לך לחגוג קח את הענף רבע פאי עד 2.25 פאי , העיקר לקחת ענפים עם לייזר בחצי מישור ימני כי זה מבטיח שהלייזר הזה לא יגע בעולם הרלוונטי: התחום הרלוונטי זה עולם כלשהו שבו החלק הממשי שלילי בוודאות.

לסיכום זה כמעא אותו תרגיל כמו בסרטון-רק שאם בסרטון גיליונ חלק ממשי חיובי כאן אנחנו מגלים חלק ממשי שלילי אז בוחרים ענף אחר.

אני תמיד רושם ארוך כי מנסיון אם לא מסבירים לעומק שואלים על אותה שאלה שוב. שמחתי לעזור ואם יש לך שאלה בנוגע למה ששאלת שלא מובנת תרגיש יותר מחופשי. בסיום הפקל-אתה תגיע למצב שיש לך ארסנל מאוד רציני של טריקים של איך לתקוף כל דבר ולאתר במה להשתמש, והכי חשוב איך להכנס לראש של המרצה. 

שיהיה סוף שבוע נעים,

אלחנדרו

היי שוב. אכן בגרסא של השאלה ששלחת אכן מקבלים :

re(4-z^2)=4-x^2+y^2

פשוט יש ורסיה אחרת לשאלה הזאת שהפונקציה המקורי היא SQRTׁׂ(4-|z|^2) ואז זה כן עם פלוס. בכל מקרה בגרסה של התרגיל שלנו- אכן מקבלים כאן מצב שאכן הטריק שבו משתמשין בחלק הממשי לא עובד.  תרשה לי להרגיע רותך ולהגיד לך שהמקרה שלך ששאלת הוא דורש משהו שהוא הרבה מעבר לקו המחשבה של המרצה והדברים שהוא אוהב במבחנים כי זה דורש שיקולים הרבה יותר שונים מהסגנון שלו אבל אני כותב לך את הגישה פה שלדעתי האישית מהכרות עם הראש של הבן אדם שכותב לכם את המבחן זה לא בראש שלהם אבל אני מאמין שאתה יכול עדיין להפיק הבנה מהפתרון שאני אציע כי זה באמת ממש יפה וזאת הגישה הכללית לכל פונקציה אבל לא קורה במבחנים. אבל בבקשה לא להבהל ממנו ולדעתי כן שווה קריאה למרות הכל. מה שעושים שאין שטיקים זה אין ברירה צריך לגלות מה קורה בעולם החדש כמו שעושים במביוס.מביוס הם הכי אוהבים כי קל לגלות אחרי שראית חלק 1 וחלק 2 מה קורה בעולם החדשאסביר:

במקרה שלנו יש לנו עולם ABS(Z)>2. מכאן אנחנו יוצאים. ואנחנו מעוניינים לגלות איפה

4 פחותz^2 נמצא. כל מה שיודעים זה ש:

Z=r*exp(it) GENERAL POINT IN OUR DOMAIN ABZ>2

r>2, t between 0 and 2pi

4-z^2=4-r^2*exp(2it)=(4-r^2*cos(2t))-(r^2*sin(2t))*i

שים לב מה קורה פה:

אנחנו מקבלים מספר מרוכב חדש!!!!

Xֹֹ_NEW=4-r^2*cos(2t)

Y_NEW=-r^2*sin(2*t)

החלק הממשי של העולם החדש זה

XֹNEW

והחלק המדומה של העולם החדש זה

YNEW

בוא נמצא קשר יפה בין הקואורדינטות בעולם החדש:

X_NEWּּ+Y_NEW=4-r^2

כלומר אם אנחנו לרגע לוקחים רדיוס מקובע

r

שאנחנו כמובן יודעים שהוא גדול משתיים שים לב שמעגל כללי מועתק לנו בעצם למשווה של קו ישר בקואורדינטות החדשות כלומר למעשה מה שקורה פה זה :

שכל מעגל שרירותי בתחום הנתון שלנו מועתק למשוואה של קו ישר שבגלל שידוע ש

r>2

אתה יודע שיש לך משוואת קו ישר שאתה יודע לצייר

X_NEWּּ+Y_NEW=4-r^2

ושים לב שאם אתה מצייר את כל הישרים האלה כולם  נכון זה התחום שלנו אוסף אינסוף הישרים האלה

X_NEWּּ+Y_NEW=4-r^2

כי זה נכון לכל רדיוס שגדול משתיים

נכון תצייר לעצמך רגע ישרים

Yּּ+X=0

Y+X=-1

Y+X=-2

כל הישרים האלה אוסף אינסופי שלהם מרכיבים לנו את התחום שלנו וכולם לא ברביע הראשון העולם החדש זה הקואורדינטות החדשות שלנו העתקנו מעגל כללי בתחום המקרוי וקבלנו ישר כללי בעולם החדש זה אומר שאנחנו מאוד נרצה לבחור ענף שלא נוגע בלייזר שלו בתחוםמ שלנו כלומר : למשל תוכל לבחור ענף עם לייזר שלא  נוגע בתחום החדש שזה אוסף אינסוף הישרים למשל תקח ענף אפס שתי פאי או רבע פאי עד שתיים וחצי פאי מצרף לך ציור

הציור הראשון זה העולם הנתון ועכשיו ציירנו את אינסוף הישרים השחורים שזה איפה

4 פחות זד בריבוע חי המישהו שבתוך הלוג והנה בחרתי שני ענפים שני לייזרים אפשריים שלא נוגעים בתחום החדש

ראינו לאיפה עובר מעגל כללי שרירותי ברדיוס r שגדול משתיים הוא עובר למשוואה של קו ישר.

אם הקוארודינטות המקוריות לפני ההעתרקה היוX,Y כך שמתקיים

x^2+y^2=r^2

כעת בהתבוננות על הביטוי המעניין 

4+z^2- 

הקואורינטות שלו (קואורדינטות הכוונה רכיב הממשי ורכיב מדומה ) הן

X_NEWּּ+Y_NEW=4-r^2

מדובר במשוואה של קו ישר, רדיוס הרי מקובע מסתכלים עבור מעגל כלי שרירותי וכמובן זה תקף מכאן לכל התחום כי התחום המקורי זה אוסף של אינסוך מעגלים והתחום החדש זה אוסף של אינסוף ישרים

Z=r*expit

r>2

t angle

Z=Xּּ+iY

X^2+Y^2=r^2

---------------------

4

-

z^2

=X_NEW+iY_NEW

זה פתרון לא ארוך שממש נחמד להכיר לדעתי כי זה רק לגלות מה קורה עם הקוארדינטות החדשות ולצייר, תקרא ברגוע את מה שרשמתי את כל ההודעות וזה יעשה לך סדר, מהכרות עם המרצה זה פחות הסגגנון שלו במבחנים אבל עדיין זה שווה ומגניב ומחזק הבנה  אז כפי שמארתי מקודם שווה קריאה.

סוף שבוע נעים

אלחנדרו

היי רוני,

אם יצא לך לקרוא את כל ההודות-

הסתדרת? הפתרון לא ארוך באמת רק צריך לרשום כמו שעשיתי את ארבע פחות זד בריבוע ואז מגלים קשר בין קואורדינטות עבור העתקה של מעגל שרירותי נתון. התחום הנתון בשאלה הוא אוסף אינסופי של מעגלים עם רדיוס גדול משתיים וכל מעגל שרירותי עובר למשווה של קו ישר כפי שהראתי יש בהודעה הראשונה הארוכה משהו מסורבל במעבר מאנלגית לעברית אבל יותר למטה זה כתוב ממש מסודר.

שבוע טוב

אלחנדרו