מבחני השוואה- אינטגרלים מוכללים וטורי מספרים.(חדוא 1מ)

אהלן,

1) בוא נעשה סדר:

נתחיל מטורים, איך יודעים להשתמש באיזה מבחן לבדיקת התכנסות או התבדרות הטור?

הנה כמה כללי אצבע:

אם יש חזקות של n - מבחן השורש
אם יש עצרת - מבחן המנה (אם יש גם עצרת וגם חזקות של n - מבחן המנה)
אם יש טור מחליף סימן - מבחן לייבניץ
אם יש טור שנראה שאפשר לעשות אינטגרל לסדרה שלו בקלות - מבחן האינטגרל
אם כלום מהנ"ל - מבחן ההשוואה הראשון (אם יש אי-שיוויון מוכר), או מבחן ההשוואה השני (חישוב גבול של האיבר הכללי עם איבר כללי של טור הרמוני כלשהו).

באינטגרלים מוכללים העקרונות דומים רק ששם יש את מבחני השוואה הראשון והשני בלבד.

2) איך לא מבזבזים זמן ויודעים ישירות עם איזה סדרה/פונקציה יש להשוות את הטור/האינטגרל?

אם רוצים לדעת את התנהגות הטור/האינטגרל עבור ארגומטים מאוד מאוד קטנים (בהתאם לסינגולריות: בטורים - "הסינגולריות" היא תמיד באינסוף, באינטגרלים מוכללים - הסינגולריות היא בנקודה בה הפונקציה לא חסומה ובנוסף אינסוף זה תמיד סינגולריות), אזי נעזר בטור טיילור-מקלורן של הסדרה/פונקציה בשאלה (בדר"כ מספיק לקחת את האיבר הראשון בפיתוח הטור, אך לעיתים יש לקחת יותר מאיבר יחיד) ואיתו נשווה. זה ייתן לנו את הקירוב המדויק ביותר ולא נצטרך לנחש את הסדרה/פונקציה שאיתה רוצים להשוות.

אם בכל זאת קיבלנו 0 או אינסוף, אזי כפי שציינת - זה מרמז על כך שאחד מהסדרות/פונקציות גדולה באופן משמעותי מהשנייה, ולכן כדאי להשתמש במבחן ההשוואה הראשון.

מקווה שמובן,

שפע ברכה והצלחה מאת ה'

חן