פורומים
ראשיפורום מתמטיקהמרתון הסתברות מ - פרק 5 - שאלה 9
ליטל
הטכניון
מרתון הסתברות מ - פרק 5 - שאלה 9

הגדרת משתנה מקרי Y (זמן הטיפול הכולל בקופת אקספרס). נימקת שניתן לרשום Y=Y1+Y2 עקב תכונת חוסר זכרון. לא ניתן להגדיר זאת בלי קשר לתכונת חוסר זכרון?פשוט להגדיר את המשתנה המקרי הזה ולהבין שהוא סכום של שני זמני ההמתנה כי הם באים אחד אחרי השני.


בלי שום קשר אפשר אינטואיציה מתי להשתמש באמת בחוסר זכרון? גם בפרק 6 שאלה 5 ההקשר לחוסר זכרון חבוי והסתבכתי עם זה.


תודה רבה


תהילה
הטכניון

מה קורההה ליטל :-P 


חן הררי
הטכניון

הי ליטל!


שאלה מצוינת. למעשה שאלת על שלושה דברים שכולם קשורים בתכונת חוסר הזכרון, אזי נענה לפי הסדר אחד אחד. 


נתחיל עם פרק 5 שאלה 9:


נכון מאוד שיכלתי להגדיר את מ"מ Y=Y1+Y2 גם ללא תכונת חוסר הזכרון, הרי מ"מ Y לא "יודע" למה התכוונתי כשהגדרתי אותו, האם התכוונתי לשני מאורעות שקרו בו-זמנית, או אולי לשני מאורעות שקרו כרונולוגית אחד אחרי השני, והאמת היא שזה גם לא ממש משנה לו :)


התכוונתי כאן לרמוז לכך שכאשר זמן הטיפול בלקוח הראשון בקופת האקספרס מסתיים, אזי עקב תכונת חוסר הזכרון, עכשיו כאילו מאפסים את המערכת ומתחילים למדוד מחדש את זמן הטיפול של הלקוח השני בקופת האקספרס וזאת ללא תלות בזמן הטיפול של הלקוח הראשון.


נעבור לפרק 6 שאלה 5


ניקח דוגמא קטנה שתמחיש לנו את העניין:


נניח שנכנס גבר (מאורע T1), ואז נכנס גבר נוסף (מאורע T2). אז עד כאן אין לנו בעיה, כי זמני ההמתנה יהיו ה- W1 וה- W2 של הגברים.


אבל אם עכשיו נכנסה אישה, אז איזה W לוקחים??


אז כאן אנחנו מתבססים על כך שהמ"מ האקספוננציאלי סובל מחוסר זיכרון (שהוא הרי הגרסה הרציפה של המ"מ הגיאומטרי), ולכן בפועל לא אכפת לנו מה היה לפני המאורע T2. מבחינתנו T2 זה ה- 0 החדש, כלומר ממנו מתחילים למדוד את זמני המתנה.


לכן אם אחרי שני הגברים נכנסה אישה אז כמובן שזמן ההמתנה הבא יהיה W1 של הנשים!


זאת-אומרת שכל מאורע שמתרחש, כאילו מוחק את כל מה שהיה לפניו, והופך להיות נקודת העוגן החדשה, נקודת האפס, ממנה מתחילים למדוד.


לכן בפועל בתחילת כל מאורע יש לנו בכל פעם בחירה בין זמן המתנה של איש או זמן ההמתנה של אישה, ובכל פעם ניקח את הקטן מבין שניהם (הראשון שנכנס לחנות), כלומר את המינמלי! לכן הגדרנו זמן המתנה בין לקוחות (לא מגדרי) שהוא המינימום בין שני זמני ההמתנה!


 


נסיים באינטואיציה: מתי להשתמש באמת בחוסר זכרון?


אז כדי להבין באמת, בואי נחזור להגדרה עצמה:


ניקח לדוגמא מ"מ גיאומטרי עם פרמטר p, אזי תכונת חוסר הזכרון אומרת ש-


                   


כלומר אם ידוע שנכשלנו n פעמים, אזי ההסתברות שההצלחה הראשונה תגיע עוד k ניסויים נוספים מעבר ל- n שכבר עשינו, שקולה להסתברות שההצלחה הראשונה תגיע תוך k ניסויים, כאילו התחלנו לספור ניסויים מרגע זה.


כלומר אין למערכת זיכרון שהיא נכשלה כבר n פעמים. כל ניסוי מתחיל מחדש.


אומרים שהחבר'ה בסיליקון ואלי, אלו שעשו אקזיטים של מיליונים, בשיחות הקפה שלהם במשרד, לא מתגאים בכמות ההצלחות שהיו להם, אלא בכמות הכשלונות שהיו להם, כאשר הגדולה האמיתית מתבטאת ביכולת לקום אחרי כל כשלון ולשמר את ההתלהבות כאילו היתה זו הפעם הראשונה. בקיצור הם מאוד מזכירים לי מ"מ גיאומטרי, אבל אל תגידי להם שאמרתי את זה ;)


אגב במקרה הרציף של המ"מ הגיאומטרי יש לנו את המ"מ האקספוננציאלי, שם תכונת חוסר הזכרון אומרת ממש באופן דומה ש- 


               


למעשה, רק לפונקציית ההסתברות הגיאומטרית (או המעריכית במקרה הרציף) יש תכונה זו. כלומר אם גילינו שפונקציית הסתברות מקיימת תכונה זו, אזי היא חייבת להיות גיאומטרית (או מעריכית במקרה הרציף).


אז בתכל'ס מתי משתמשים בזה? לא ראיתי הרבה שאלות ששואלים ישירות על תכונת חוסר הזיכרון, אם יש שאלות כאלו אז בדר"כ הן עושות שימוש ישיר בהגדרה כמו שראינו לעיל, לפעמים גם בתוך תוחלת, כלומר 


 


למשל, אם X מ"מ מעריכי.


אבל רוב השאלות עושות שימוש עקיף בתכונת חוסר הזיכרון, כלומר כל המודלים הגיאומטריים והמעריכיים עושים שימוש בתכונה הזאת בתוך הפיתוח המתמטי תיאורטי שלהם, לכן מספיק להכיר את המודלים עצמם, שאותם הצגתי בשאלות המרתון כהקדמה לנושאים אלו.


מקווה שברור :)


שפע ברכה, הצלחה וציונים גבוהים מאת ה' :)


חן.


×